Cho tứ giác ABCD gọi mnp lần lượt là trung điểm của AD, BC AC

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.
. Câu 36 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1 – Bài 4. Đường trung bình của tam giác của hình thang

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.

Chứng minh rằng:

a. EI// CD, IF // AB

b. (EF le {{AB + CD} over 2})

Giải:         

                                                                  

a) Trong tam giác ADC, ta có:

E là trung điểm của AD (gt)

I là trung điểm của AC (gt)

Nên EI là đường trung bình của ∆ ABC

⇒ EI // CD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Quảng cáo

Và (EI = {{CD} over 2})

Trong tam giác ABC ta có:

I là trung điểm của AC

F là trung điểm của BC

Nên IF là đường trung bình của ∆ ABC

⇒ IF // AB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Và (IF = {{AB} over 2})

b) Trong ∆ EIF ta có: EF ≤ EI + IF (dấu “=” xảy ra khi E, I, F thẳng hàng)

Mà (EI = {{CD} over 2}{rm{;}},,IF{rm{ = }}{{AB} over 2}) (chứng minh trên) ( Rightarrow {rm{EF}} le {{CD} over 2} + {{AB} over 2}) 

Vậy (EF le {{AB + CD} over 2}) (dấu bằng xảy ra khi AB // CD)

Gọi P là trung điểm của BD. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, ta có:                            (MP=frac{1}{2}AB)                             (NP=frac{1}{2}CD)Do đó:               ( MP + NP = frac{1}{2}( AB+CD)).Mặt khác ta có: (MNleq MP+NP ).Vì vậy                  (MNleq frac{1}{2}(AB +CD)).

Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi…

Gọi Q là trung điểm của cạnh AD. Dễ dàng chứng minh được MNPQ là hình bình hành,do đó (S_{MNP}=frac{1}{2}S_{MNPQ}).Gọi E, F là giao điểm của AC với NP và MQ. Kẻ BH (perp ) AC, MI (perp ) AC thì:      (S_{MNEF}) = MN.MI                      = (frac{1}{2})AC.(frac{1}{2})BH                      = (frac{1}{2})((frac{1}{2})AC.BH) = (frac{1}{2}) (S_{ABC}).      (1)Chứng minh tương tự, ta có:

       …

Cho tứ giác ABCD có AD = BC . M , N , P thứ tự là trung điểm AB , AC và CD . Chứng minh tam giác MNP cân

Các câu hỏi tương tự

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành

b) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì để MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông?

c) Gọi O là giao điểm của AC,BD.Chứng minh: M,O,P thẳng hàng

d) Chứng minh : AC, BD, QN đồng qui

 Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. a) Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MP, QN, IJ đồng quy tại một điểm.

Cho tứ giác ABCD . gọi M , N , P , Q , E , G lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD , DA , BD , AC .

a) Chứng minh tứ giác MNPQ , MEPG là hình bình hành .

b) Chứng minh MP , NQ , EG là đồng quy

Cho tứ giác ABCD . gọi M , N , P , Q , E , G lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD , DA , BD , AC .

a) Chứng minh tứ giác MNPQ , MEPG là hình bình hành .

b) Chứng minh MP , NQ , EG là đồng quy

Cho hình bình hành  ABCD, M là trung điểm AB, N là trung điểm CD.a. CM tứ giác AMND là hình bình hành.b. CM Tứ giác AMCN là hình bình hành.c. CM AC,BD, MN đồng quy.Bài 2 : Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD ). Gọi M,N,P ,Q lần lượt là trung điểm Ab,CD,AD,CA. Biết AC vuông góc với BD.a. CM tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b. CM tứ giác MNPQ là hình thoi.

a) Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành.

b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy.