ADVERTISEMENT
  • Trang chủ
  • Tin Tức
  • Liên hệ
Thứ Bảy, Tháng Bảy 2, 2022
Tin tức Online Học Hành-Mẹo Vặt
No Result
View All Result
  • Giáo Án
  • Học Tập
    • Lớp 1
    • Lớp 2
    • Lớp 3
    • Lớp 4
    • Lớp 5
    • Lớp 6
    • Lớp 7
    • Lớp 8
    • Lớp 9
    • Lớp 10
    • Lớp 11
    • Lớp 12
  • Sách Tham Khảo
    • Sách Tham Khảo Lớp 1
    • Sách Tham Khảo Lớp 2
    • Sách Tham Khảo Lớp 3
    • Sách Tham Khảo Lớp 4
    • Sách Tham Khảo Lớp 5
    • Sách Tham Khảo Lớp 6
    • Sách Tham Khảo Lớp 7
    • Sách Tham Khảo Lớp 8
    • Sách Tham Khảo Lớp 9
    • Sách Tham Khảo Lớp 10
    • Sách Tham Khảo Lớp 11
    • Sách Tham Khảo Lớp 12
  • Ôn Thi
    • Thi THPT Quốc Gia
    • Địa Lý
    • Giáo Dục Công Dân
    • Hóa Học
    • Lịch Sử
    • Ngoại Ngữ
    • Ngữ Văn
    • Sinh Học
    • Vật Lý
    • Toán Học
  • Sách Kinh Tế
  • Sách Ngoại Ngữ
    • Tiếng Nhật
    • Tiếng Pháp
    • Tiếng Trung
  • Biểu mẫu
    • Giáo dục – Đào tạo
  • Sách Văn Học
  • Sách Y Học
  • Tài Liệu
    • Thủ tục hành chính
    • Việc làm – Nhân sự
    • Y học
    • Bộ đội – Quốc phòng – Thương binh
    • Doanh nghiệp
    • Giáo dục – Đào tạo
    • Giao thông vận tải
    • Hôn nhân – Gia đình
    • Quyền Dân sự
    • Tin Tức
  • Tâm Lý & Kỹ Năng
  • Giáo Án
  • Học Tập
    • Lớp 1
    • Lớp 2
    • Lớp 3
    • Lớp 4
    • Lớp 5
    • Lớp 6
    • Lớp 7
    • Lớp 8
    • Lớp 9
    • Lớp 10
    • Lớp 11
    • Lớp 12
  • Sách Tham Khảo
    • Sách Tham Khảo Lớp 1
    • Sách Tham Khảo Lớp 2
    • Sách Tham Khảo Lớp 3
    • Sách Tham Khảo Lớp 4
    • Sách Tham Khảo Lớp 5
    • Sách Tham Khảo Lớp 6
    • Sách Tham Khảo Lớp 7
    • Sách Tham Khảo Lớp 8
    • Sách Tham Khảo Lớp 9
    • Sách Tham Khảo Lớp 10
    • Sách Tham Khảo Lớp 11
    • Sách Tham Khảo Lớp 12
  • Ôn Thi
    • Thi THPT Quốc Gia
    • Địa Lý
    • Giáo Dục Công Dân
    • Hóa Học
    • Lịch Sử
    • Ngoại Ngữ
    • Ngữ Văn
    • Sinh Học
    • Vật Lý
    • Toán Học
  • Sách Kinh Tế
  • Sách Ngoại Ngữ
    • Tiếng Nhật
    • Tiếng Pháp
    • Tiếng Trung
  • Biểu mẫu
    • Giáo dục – Đào tạo
  • Sách Văn Học
  • Sách Y Học
  • Tài Liệu
    • Thủ tục hành chính
    • Việc làm – Nhân sự
    • Y học
    • Bộ đội – Quốc phòng – Thương binh
    • Doanh nghiệp
    • Giáo dục – Đào tạo
    • Giao thông vận tải
    • Hôn nhân – Gia đình
    • Quyền Dân sự
    • Tin Tức
  • Tâm Lý & Kỹ Năng
No Result
View All Result
Tin tức Online Học Hành-Mẹo Vặt
No Result
View All Result
ADVERTISEMENT

Chứng minh phương trình có it nhất 1 nghiệm

Tiny Edu by Tiny Edu
18 Tháng Năm, 2022
in Blog
0
Chứng minh phương trình có it nhất 1 nghiệm
0
SHARES
0
VIEWS
Share on FacebookShare on Twitter
ADVERTISEMENT

Định lý 1. (Định lý giá trị trung gian)

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì f(x) nhận mọi giá trị f(x0), với ${x_0} in left[ {a;b} right]$

Định lí 2.  Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại $c in left( {a;b} right)$ sao cho $f(c) = 0$.

Định lí 3. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm c $in (a;b)$.

+ Bước 1. Biến đổi phương trình về dạng $fleft( x right) = 0.$

+ Bước 2. Chứng minh hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $left[ {a;b} right].$

+ Bước 3. Chứng minh $fleft( a right).fleft( b right) < 0.$

+ Bước 4. Kết luận phương trình $fleft( x right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $left( {a;b} right).$

Xem Tắt

  • 1 B. PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TẬP
  • 2 2.1. Loại 1. Không tham số
    • 2.1 2.1. Dạng 1. Chứng minh phương trình có ít nhất n nghiệm thuộc (a;b)
    • 2.2 a) Phương pháp chia khoảng bằng máy tính cầm tay casio fx570 VN plus
      • 2.2.1 Ví dụ 1.
      • 2.2.2 Giải
      • 2.2.3 Ví dụ 2
    • 2.3 b) Phương pháp đổi biến
    • 2.4 2.1.2. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm duy nhất
  • 3 2.2. Loại 2. Phương trình chứa tham số.
      • 3.0.1 Dạng 1. Xác định khoảng nghiệm cụ thể.
      • 3.0.2 Ví dụ 1.
      • 3.0.3 Ví dụ 2.
      • 3.0.4 Ví dụ 3.
      • 3.0.5 Dạng 2. Sử dụng giới hạn
      • 3.0.6 Ví dụ 1.
      • 3.0.7 Ví dụ 2.
  • 4 C. BÀI TẬP THỰC HÀNH
  • 5 D. TÀI LIỆU ĐÍNH KÈM

B. PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TẬP

2.1. Loại 1. Không tham số

2.1. Dạng 1. Chứng minh phương trình có ít nhất n nghiệm thuộc (a;b)

Phương pháp chung:

$bullet $ Để chứng minh phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trên (a ;b), ta chứng minh hàm số $y=f(x)$ liên tục trên (a ;b) và $f(a).f(b)<0$.

$bullet $ Để chứng minh phương trình $f(x)=0$ có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số $y=f(x)$ liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau $({{a}_{i}};{{a}_{i+1}})$ (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho $f({{a}_{i}}).f({{a}_{i+1}})<0$.

a) Phương pháp chia khoảng bằng máy tính cầm tay casio fx570 VN plus

+ Bước 1. Sử dụng mode 7, nhập f(x); start: a; end: b; step: $frac{{b – a}}{{12}}$ (vì máy tính chỉ có thể thực hiện được bảng được 12-14 dòng).

+ Bước 2. Tìm khoảng mà f(x) đổi dấu=> chọn khoảng nghiệm.

+ Bước 3. Trình bày lời giải.

Ví dụ 1.

Chứng minh rằng phương trình $4{x^3} – 8{x^2} + 1 = 0$ có nghiệm trong khoảng $left( { – 1;2} right).$

Giải

Hàm số $fleft( x right) = 4{x^3} – 8{x^2} + 1$ liên tục trên $R.$

Ta có: $fleft( { – 1} right) = – 11$, $fleft( 2 right) = 1$ nên $fleft( { – 1} right).fleft( 2 right) < 0.$

Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;2} right).$

Ví dụ 2

Chứng minh phương trình $4{x^4} + 2{x^2} – x – 3 = 0$ có ít nhất $2$ nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;1} right).$

Nhận xét: Sử dụng casio ta có bảng sau:

x
f(X)

1
-5
2252

2
-4
1057

3
-3
342

4
-2
71

5
-1
4

6
0
-3

7
1
2

8
2
67

9
3
336

10
4
1049

11
5
2542

Ta thấy, tại các điểm x=-1;x=0;x=1 các giá trị f(-1);f(0);f(1) đổi dấu.

Vậy chia [-1;1] thành hai khoảng để xét: [-1;0] và [0;1]. Từ đó ta có lời giải như sau:

Giải

Đặt $fleft( x right) = 4{x^4} + 2{x^2} – x – 3$ thì $fleft( x right)$ liên tục trên $R.$

Ta có:

$fleft( { – 1} right) = 4 + 2 + 1 – 3 = 4.$

$fleft( 0 right) = – 3.$

$fleft( 1 right) = 2.$

Vì $fleft( { – 1} right).fleft( 0 right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;0} right).$

Vì $fleft( 1 right).fleft( 0 right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( {0;1} right).$

Mà hai khoảng $left( { – 1;0} right)$, $left( {0;1} right)$ không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất $2$ nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;1} right).$

Ví dụ 3

Chứng minh phương trình ${x^5} – 5{x^3} + 4x – 1 = 0$ có đúng năm nghiệm.

Nhận xét

Sử dụng casio để tìm khoảng nghiệm. Ta có bảng sau:

X
f(X)

1
-2
-1

2
-1.5
2.2812

3
-1
-1

4
-0.5
-2.406

5
0
-1

6
0.5
0.4062

7
1
-1

8
1.5
-4.281

9
2
-1

10
2.5
28.531

11
3
119

Vậy ta chọn được các khoảng nghiệm mà trong đó các giá trị f(X) đổi dấu đó là:

[-1;-1.5]; [-1.5;1]; [-1;0.5]; [0.5;1]; [1;3]. Đúng đủ 5 khoảng nhé!

Từ đó ta có lời giải như sau:

Giải

Đặt $fleft( x right) = {x^5} – 5{x^3} + 4x – 1$ thì $fleft( x right)$ liên tục trên $R.$

Ta có $fleft( x right) = xleft( {{x^4} – 5{x^2} + 4} right) – 1$ $ = left( {x – 2} right)left( {x – 1} right)xleft( {x + 1} right)left( {x + 2} right) – 1.$

$fleft( { – 2} right) = – 1.$

$fleft( { – frac{3}{2}} right) = frac{{105}}{{32}} – 1 > 0.$

$fleft( { – 1} right) = – 1 < 0.$

$fleft( {frac{1}{2}} right) = frac{{45}}{{32}} – 1 > 0.$

$fleft( 1 right) = – 1 < 0.$

$fleft( 3 right) = 120 – 1 = 119 > 0.$

Vì $fleft( { – 2} right).fleft( { – frac{3}{2}} right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( { – 2; – frac{3}{2}} right).$

Vì $fleft( { – frac{3}{2}} right).fleft( { – 1} right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( { – frac{3}{2}; – 1} right).$

Vì $fleft( { – 1} right).fleft( {frac{1}{2}} right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;frac{1}{2}} right).$

ADVERTISEMENT

Vì $fleft( {frac{1}{2}} right).fleft( 1 right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( {frac{1}{2};1} right).$

Vì $fleft( 1 right).fleft( 3 right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( {1;3} right).$

Do các khoảng $left( { – 2; – frac{3}{2}} right)$, $left( { – frac{3}{2}; – 1} right)$, $left( { – 1;frac{1}{2}} right)$, $left( {frac{1}{2};1} right)$, $left( {1;3} right)$ không giao nhau nên phương trình có ít nhất $5$ nghiệm.

Mà phương trình bậc $5$ có không quá $5$ nghiệm suy ra phương trình đã cho có đúng $5$ nghiệm.

b) Phương pháp đổi biến

Ví dụ 4

Chứng minh rằng nếu $2a + 3b + 6c = 0$ thì phương trình $a{tan ^2}x + btan x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $left( {kpi ;frac{pi }{4} + kpi } right)$, $k in Z.$

Giải

Đặt $t = tan x$, vì $x in left( {kpi ;frac{pi }{4} + kpi } right)$ nên $t in left( {0;1} right)$, phương trình đã cho trở thành: $a{t^2} + bt + c = 0$ $left( * right)$ với $t in left( {0;1} right).$
Đặt $fleft( t right) = a{t^2} + bt + c$ thì $fleft( t right)$ liên tục trên $R.$

Ta sẽ chứng minh phương trình $left( * right)$ luôn có nghiệm $t in left( {0;1} right).$

Thật vậy:

Ta có: $fleft( 0 right).fleft( {frac{2}{3}} right)$ $ = frac{c}{9}left( {4a + 6b + 9c} right)$ $ = frac{c}{9}left[ {2left( {2a + 3b + 6c} right) – 3c} right]$ $ = – frac{{{c^2}}}{3}.$

+ Nếu $c = 0$ thì $fleft( {frac{2}{3}} right) = 0$ do đó phương trình $left( * right)$ có nghiệm $t = frac{2}{3} in left( {0;1} right).$

+ Nếu $c ne 0$ thì $fleft( 0 right).fleft( {frac{2}{3}} right) < 0$ suy ra phương trình $left( * right)$ có nghiệm $t in left( {0;frac{2}{3}pi } right)$, do đó phương trình $left( * right)$ có nghiệm $t in left( {0;1} right).$

Vậy phương trình $a{tan ^2}x + btan x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $left( {kpi ;frac{pi }{4} + kpi } right)$, $k in Z.$

2.1.2. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm duy nhất

Phương pháp:

+ Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

+ CM nghiệm đó là duy nhất bằng cách: Giả sử có nghiệm x1; x2. Chứng minh x1=x2 suy ra nghiệm đó là duy nhất

Ví dụ 1

Chứng minh rằng các phương trình: ${{x}^{5}}+3x+1=0$ có đúng một nghiệm.

Giải

Xét hàm số $f(x)={{x}^{5}}+3x+1$ là hàm liên tục trên $mathbb{R}$

Mặt khác: $f(-1)=-1,f(0)=1Rightarrow f(-1).f(0)=-1<0$

Nên phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $left( -1;0 right)$.

Giả sử phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$.

Khi đó: $f({x_1}) – f({x_2}) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x_1^5 – x_2^5} right) + 3left( {{x_1} – {x_2}} right) = 0$

$ Leftrightarrow {rm{ }}left( {{x_1} – {x_2}} right)underbrace {left( {x_1^4 + x_1^3{x_2} + x_1^2x_2^2 + {x_1}x_2^3 + x_2^4 + 3} right)}_A = 0$ (1)

Do $A = {left( {x_1^2 + frac{1}{2}{x_1}{x_2}} right)^2} + {left( {frac{1}{4}{x_1}{x_2} + x_2^2} right)^2} + frac{1}{2}x_1^2x_2^2 + 3 > 0$

Nên (1)$Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}$

Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm.

2.2. Loại 2. Phương trình chứa tham số.

Dạng 1. Xác định khoảng nghiệm cụ thể.
Ví dụ 1.

Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, n

$m{{left( x-1 right)}^{3}}left( x+2 right)+2x+3=0$

Giải

Ta có hàm số $f(x)=m{{left( x-1 right)}^{3}}left( x+2 right)+2x+3$ liên tục trên R và

$f(1).f(-2)=-5<0Rightarrow $ phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc $(-2;1)$

Ví dụ 2.

Chứng minh rằng phương trình: ${m^2}.(x – 2) + m{(x – 1)^3}.{(x – 2)^4} + 3x – 4 = 0$ luôn có nghiệm với mọi m.

Giải

Ta có hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $mathbb{R}$và $f(1).f(2)<0$

Nên ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3.

Chứng minh rằng phương trình: $frac{1}{{cos x}} – frac{1}{{sin x}} = m$ có nghiệm với mọi m.

Giải

  • Điều kiện : $xne kfrac{pi }{2},kin mathbb{Z}$
  • Xét hàm số$f(x)=sin x-cos x-msin xcos x$,liên tục trên $left[ 0;frac{pi }{2} right]$ và

$f(0).f(frac{pi }{2})=-1<0$ do đó phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm

${{x}_{0}}in left( 0;frac{pi }{2} right)Rightarrow {{x}_{0}}ne kfrac{pi }{2}$

Do đó phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm.

Dạng 2. Sử dụng giới hạn
Ví dụ 1.

Chứng minh rằng phương trình: $(1-{{m}^{2}}){{x}^{5}}-3x-1=0$ luôn có nghiệm với mọi m.

Giải

  • $m = pm 1$ phương trình có nghiệm $x = – frac{1}{3}$.(1)
  • $m ne pm 1$: Ta có hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $mathbb{R}$và $underset{xto -infty }{mathop{lim }},f(x).underset{xto +infty }{mathop{lim }},f(x)$ $ = left( { – infty } right).{left( {1 – {m^2}} right)^2} < 0$ $ Rightarrow exists A < 0;B > 0$ sao cho: $f(A).f(B) < 0$. (2)

Khi đó phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (A;B).

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2.

Chứng minh rằng phương trình : ${x^5} + {x^2} – ({m^2} + 2)x – 1 = 0$ có ít nhất 3 nghiệm thức.

Giải

Đặt: $f(x) = {x^5} + {x^2} – ({m^2} + 2)x – 1$.

  • Hàm số liên tục trên $mathbb {R}$.
  • Có $f(0) = – 1$ và $f( – 1) = {m^2} + 1$ suy ra: $f(0).f( – 1) = – left( {{m^2} + 1} right) < 0;forall m$. suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;0).
  • Ta có: $mathop {lim }limits_{x to – infty } f(x) = – infty Rightarrow exists A < – 1,f(A) < 0$ suy ra: $f( – 1).f(A) < 0;forall m$. Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc $left( { – infty ; – 1} right)$.
  • Tương tự: $mathop {lim }limits_{x to + infty } f(x) = + infty Rightarrow exists B > 0,f(B) > 0;forall m$. Suy ra: $ Rightarrow exists B > 0,f(0).f(B) < 0;forall m$. Vậy phương trình có it nhất một nghiệm thuộc $left( {0; – infty } right)$.Vậy phương trình có ít nhất 3 nghiệm phân biệt (đpcm).

Ví dụ 3. 

Chứng minh rằng phương trình $left( {{m^2} – m + 3} right){x^{2n}} – 2x – 4 = 0$ với $n in {N^*}$ luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Giải

Đặt $fleft( x right) = left( {{m^2} – m + 3} right){x^{2n}} – 2x – 4.$

Ta có:

$fleft( { – 2} right)$ $ = left( {{m^2} – m + 3} right){left( { – 2} right)^{2n}} – 2left( { – 2} right) – 4$ $ = left( {{m^2} – m + 3} right){2^{2n}} > 0$, $forall m in R.$

$fleft( 0 right) = – 4 < 0$, $forall m in R.$

Từ đó có: $fleft( { – 2} right).fleft( 0 right) < 0$, $forall m in R.$

Ngoài ra hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $R$ nên hàm số liên tục trên đoạn $left[ { – 2;0} right].$

Vậy phương trình $f(x) = 0$ luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị tham số $m.$

C. BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1. Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng một nghiệm.

${{x}^{3}}+2x=4+3sqrt{3-2x}$

Bài 2. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :

a) ${{x}^{7}}+3{{x}^{5}}-1=0$

b) ${{x}^{2}}sin x+xcos x+1=0$

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau: $sqrt{{{x}^{5}}+2{{x}^{3}}+15{{x}^{2}}+14x+2}=3{{x}^{2}}+x+1$ có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Bài 4. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt

a) ${{x}^{3}}-3x+1=0$

b) $2x+6sqrt[3]{1-x}=3$

Bài 5. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, n:

$mleft( x-a right)left( x-c right)+nleft( x-b right)left( x-d right)=0$    ($ale ble cle d$).

Hướng dẫn: Xét: f(a)f(c)<0.

Bài 7. Cho $m>0$ và $a,b,c$ là ba số thực bất kỳ thoả mãn

$frac{a}{m+2}+frac{b}{m+1}+frac{c}{m}=0$. Chứng minh rằng phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm.

Hướng dẫn: $f(0).fleft( {frac{{m + 1}}{{m + 2}}} right) = frac{{ – {c^2}}}{{mleft( {m + 2} right)}} < 0$

Bài 8. Chứng minh rằng phương trình :

a) ${{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+1=0$có nghiệm thuộc khoảng $left( -1;1 right)$

b) ${{x}^{5}}-5{{x}^{3}}+4x-1=0$ có năm nghiệm thuộc khoảng $left( -2;3 right)$

Bài 9. Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: $n<m;text{ }mp<{{n}^{2}}$và $frac{a}{m}+frac{b}{n}+frac{c}{p}=0$. Chứng minh rằng phương trình : $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$  luôn có nghiệm.

Hướng dẫn: Xét $fleft( {frac{n}{m}} right).f(0) = frac{{pm – {n^2}}}{{pm}}{f^2}(0) < 0$.

D. TÀI LIỆU ĐÍNH KÈM

Chú ý:+ Nếu $fleft( a right).fleft( b right) le 0$ thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc $left[ {a;b} right].$+ Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $left[ {a; + infty } right)$ và có $fleft( a right).mathop {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right) < 0$ thì phương trình $fleft( x right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $left( {a; + infty } right).$

+ Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $left( { – infty ;a} right]$ và có $fleft( a right).mathop {lim }limits_{x to – infty } fleft( x right) < 0$ thì phương trình $fleft( x right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $left( { – infty ;a} right).$

Liên Quan:

Default ThumbnailĐồ thị hàm số y = x mũ 4 trụ 2 x bình trụ 3 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm Bộ đề thi khảo sát chất lượng đầu năm môn Toán lớp 5 năm 2020 – 2021 Toán 6 Bài 4: Phép nhân, phép chia phân số Cánh diều Hướng dẫn giải bài toán lớp 4: Dạng toán thêm, bớt một chữ số ở bên trái một số
ADVERTISEMENT
Previous Post

Top 2 chuỗi cửa hàng torano Huyện Krông Ana Đắk Lắk 2022

Next Post

Các điểm hỗ trợ Grab tại tphcm 2022

Xem Thêm

Dựa vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 25, hãy xác định hải di sản văn hóa thế giới ở Việt Nam
Blog

Dựa vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 25, hãy xác định hải di sản văn hóa thế giới ở Việt Nam

1 Tháng Bảy, 2022
Vở bài tập Toán lớp 1 tập 1 trang 26 Chân trời sáng tạo
Blog

Vở bài tập Toán lớp 1 tập 1 trang 26 Chân trời sáng tạo

1 Tháng Bảy, 2022
Tên con sông được nhắc đến trong bài thơ Tây Tiến
Blog

Tên con sông được nhắc đến trong bài thơ Tây Tiến

1 Tháng Bảy, 2022
Từ gồm hai hay nhiều tiếng gọi là từ gì
Blog

Từ gồm hai hay nhiều tiếng gọi là từ gì

1 Tháng Bảy, 2022
Top 7 cửa hàng balo seliux Thị xã Cao Bằng Cao Bằng 2022
Blog

Top 7 cửa hàng balo seliux Thị xã Cao Bằng Cao Bằng 2022

1 Tháng Bảy, 2022
Bảng xếp hạng vô địch quốc gia đan mạch
Blog

Bảng xếp hạng vô địch quốc gia đan mạch

1 Tháng Bảy, 2022
Next Post
Các điểm hỗ trợ Grab tại tphcm 2022

Các điểm hỗ trợ Grab tại tphcm 2022

Discussion about this post

Bài Viết Mới

Dựa vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 25, hãy xác định hải di sản văn hóa thế giới ở Việt Nam
Blog

Dựa vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 25, hãy xác định hải di sản văn hóa thế giới ở Việt Nam

by Tiny Edu
1 Tháng Bảy, 2022
0

Dựa vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 25, hãy xác định hải di sản văn hóa thế giới ở...

Read more
Vở bài tập Toán lớp 1 tập 1 trang 26 Chân trời sáng tạo

Vở bài tập Toán lớp 1 tập 1 trang 26 Chân trời sáng tạo

1 Tháng Bảy, 2022
Tên con sông được nhắc đến trong bài thơ Tây Tiến

Tên con sông được nhắc đến trong bài thơ Tây Tiến

1 Tháng Bảy, 2022
Từ gồm hai hay nhiều tiếng gọi là từ gì

Từ gồm hai hay nhiều tiếng gọi là từ gì

1 Tháng Bảy, 2022
Top 7 cửa hàng balo seliux Thị xã Cao Bằng Cao Bằng 2022

Top 7 cửa hàng balo seliux Thị xã Cao Bằng Cao Bằng 2022

1 Tháng Bảy, 2022
Vết trầy ở chân tay lâu lành cảnh báo bệnh tiểu đường

Vết trầy ở chân tay lâu lành cảnh báo bệnh tiểu đường

1 Tháng Bảy, 2022
Đi ngủ lúc mấy giờ là tốt nhất?

Đi ngủ lúc mấy giờ là tốt nhất?

1 Tháng Bảy, 2022
Suy thận ảnh hưởng thế nào đến sinh lý nam giới?

Suy thận ảnh hưởng thế nào đến sinh lý nam giới?

1 Tháng Bảy, 2022
Nhận biết dấu hiệu rụng trứng để gia tăng cơ hội thụ thai

Nhận biết dấu hiệu rụng trứng để gia tăng cơ hội thụ thai

1 Tháng Bảy, 2022
Phân tích tinh dịch chẩn đoán vô sinh nam sớm

Phân tích tinh dịch chẩn đoán vô sinh nam sớm

1 Tháng Bảy, 2022

Phản hồi gần đây

  • Tả cây cam mà em yêu thích (Dàn ý + 7 mẫu) - Tài Liệu Miễn Phí trong Tả một loại cây ăn quả mà em thích (Dàn ý + 70 Mẫu)
  • Mẫu vở luyện viết chữ đẹp - Tài Liệu Miễn Phí trong Mẫu giấy 4 ô ly
  • Bộ đề thi thử vào lớp 10 môn tiếng Anh năm 2018 - 2019 - Tài Liệu Miễn Phí trong Bộ đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2018 – 2019
  • Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2017 môn Địa lý trường THPT Đoàn Thượng, Hải Dương (Lần 1) - Tài Liệu Miễn Phí trong Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2017 môn Địa lý trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh (Lần 1)
  • Đoạn văn tiếng Anh về môn thể thao yêu thích (8 mẫu) - Tài Liệu Miễn Phí trong Đoạn văn tiếng Anh về ngày Tết
ADVERTISEMENT
  • Trang chủ
  • Tin Tức
  • Liên hệ
HOME - TRANG CHU

© 2021 Copyright -Mẹo Vặt Online Asianbeauty

No Result
View All Result
  • Giáo Án
  • Học Tập
    • Lớp 1
    • Lớp 2
    • Lớp 3
    • Lớp 4
    • Lớp 5
    • Lớp 6
    • Lớp 7
    • Lớp 8
    • Lớp 9
    • Lớp 10
    • Lớp 11
    • Lớp 12
  • Sách Tham Khảo
    • Sách Tham Khảo Lớp 1
    • Sách Tham Khảo Lớp 2
    • Sách Tham Khảo Lớp 3
    • Sách Tham Khảo Lớp 4
    • Sách Tham Khảo Lớp 5
    • Sách Tham Khảo Lớp 6
    • Sách Tham Khảo Lớp 7
    • Sách Tham Khảo Lớp 8
    • Sách Tham Khảo Lớp 9
    • Sách Tham Khảo Lớp 10
    • Sách Tham Khảo Lớp 11
    • Sách Tham Khảo Lớp 12
  • Ôn Thi
    • Thi THPT Quốc Gia
    • Địa Lý
    • Giáo Dục Công Dân
    • Hóa Học
    • Lịch Sử
    • Ngoại Ngữ
    • Ngữ Văn
    • Sinh Học
    • Vật Lý
    • Toán Học
  • Sách Kinh Tế
  • Sách Ngoại Ngữ
    • Tiếng Nhật
    • Tiếng Pháp
    • Tiếng Trung
  • Biểu mẫu
    • Giáo dục – Đào tạo
  • Sách Văn Học
  • Sách Y Học
  • Tài Liệu
    • Thủ tục hành chính
    • Việc làm – Nhân sự
    • Y học
    • Bộ đội – Quốc phòng – Thương binh
    • Doanh nghiệp
    • Giáo dục – Đào tạo
    • Giao thông vận tải
    • Hôn nhân – Gia đình
    • Quyền Dân sự
    • Tin Tức
  • Tâm Lý & Kỹ Năng

© 2021 Copyright -Mẹo Vặt Online Asianbeauty