Chứng minh phương trình có it nhất 1 nghiệm

Định lý 1. (Định lý giá trị trung gian)

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì f(x) nhận mọi giá trị f(x0), với ${x_0} in left[ {a;b} right]$

Định lí 2.  Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại $c in left( {a;b} right)$ sao cho $f(c) = 0$.

Định lí 3. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm c $in (a;b)$.

+ Bước 1. Biến đổi phương trình về dạng $fleft( x right) = 0.$

+ Bước 2. Chứng minh hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $left[ {a;b} right].$

+ Bước 3. Chứng minh $fleft( a right).fleft( b right) < 0.$

+ Bước 4. Kết luận phương trình $fleft( x right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $left( {a;b} right).$

B. PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TẬP

2.1. Loại 1. Không tham số

2.1. Dạng 1. Chứng minh phương trình có ít nhất n nghiệm thuộc (a;b)

Phương pháp chung:

$bullet $ Để chứng minh phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trên (a ;b), ta chứng minh hàm số $y=f(x)$ liên tục trên (a ;b) và $f(a).f(b)<0$.

$bullet $ Để chứng minh phương trình $f(x)=0$ có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số $y=f(x)$ liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau $({{a}_{i}};{{a}_{i+1}})$ (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho $f({{a}_{i}}).f({{a}_{i+1}})<0$.

a) Phương pháp chia khoảng bằng máy tính cầm tay casio fx570 VN plus

+ Bước 1. Sử dụng mode 7, nhập f(x); start: a; end: b; step: $frac{{b – a}}{{12}}$ (vì máy tính chỉ có thể thực hiện được bảng được 12-14 dòng).

+ Bước 2. Tìm khoảng mà f(x) đổi dấu=> chọn khoảng nghiệm.

+ Bước 3. Trình bày lời giải.

Ví dụ 1.

Chứng minh rằng phương trình $4{x^3} – 8{x^2} + 1 = 0$ có nghiệm trong khoảng $left( { – 1;2} right).$

Giải

Hàm số $fleft( x right) = 4{x^3} – 8{x^2} + 1$ liên tục trên $R.$

Ta có: $fleft( { – 1} right) = – 11$, $fleft( 2 right) = 1$ nên $fleft( { – 1} right).fleft( 2 right) < 0.$

Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;2} right).$

Ví dụ 2

Chứng minh phương trình $4{x^4} + 2{x^2} – x – 3 = 0$ có ít nhất $2$ nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;1} right).$

Nhận xét: Sử dụng casio ta có bảng sau:

x
f(X)

1
-5
2252

2
-4
1057

3
-3
342

4
-2
71

5
-1
4

6
0
-3

7
1
2

8
2
67

9
3
336

10
4
1049

11
5
2542

Ta thấy, tại các điểm x=-1;x=0;x=1 các giá trị f(-1);f(0);f(1) đổi dấu.

Vậy chia [-1;1] thành hai khoảng để xét: [-1;0] và [0;1]. Từ đó ta có lời giải như sau:

Giải

Đặt $fleft( x right) = 4{x^4} + 2{x^2} – x – 3$ thì $fleft( x right)$ liên tục trên $R.$

Ta có:

$fleft( { – 1} right) = 4 + 2 + 1 – 3 = 4.$

$fleft( 0 right) = – 3.$

$fleft( 1 right) = 2.$

Vì $fleft( { – 1} right).fleft( 0 right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;0} right).$

Vì $fleft( 1 right).fleft( 0 right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( {0;1} right).$

Mà hai khoảng $left( { – 1;0} right)$, $left( {0;1} right)$ không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất $2$ nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;1} right).$

Ví dụ 3

Chứng minh phương trình ${x^5} – 5{x^3} + 4x – 1 = 0$ có đúng năm nghiệm.

Nhận xét

Sử dụng casio để tìm khoảng nghiệm. Ta có bảng sau:

X
f(X)

1
-2
-1

2
-1.5
2.2812

3
-1
-1

4
-0.5
-2.406

5
0
-1

6
0.5
0.4062

7
1
-1

8
1.5
-4.281

9
2
-1

10
2.5
28.531

11
3
119

Vậy ta chọn được các khoảng nghiệm mà trong đó các giá trị f(X) đổi dấu đó là:

[-1;-1.5]; [-1.5;1]; [-1;0.5]; [0.5;1]; [1;3]. Đúng đủ 5 khoảng nhé!

Từ đó ta có lời giải như sau:

Giải

Đặt $fleft( x right) = {x^5} – 5{x^3} + 4x – 1$ thì $fleft( x right)$ liên tục trên $R.$

Ta có $fleft( x right) = xleft( {{x^4} – 5{x^2} + 4} right) – 1$ $ = left( {x – 2} right)left( {x – 1} right)xleft( {x + 1} right)left( {x + 2} right) – 1.$

$fleft( { – 2} right) = – 1.$

$fleft( { – frac{3}{2}} right) = frac{{105}}{{32}} – 1 > 0.$

$fleft( { – 1} right) = – 1 < 0.$

$fleft( {frac{1}{2}} right) = frac{{45}}{{32}} – 1 > 0.$

$fleft( 1 right) = – 1 < 0.$

$fleft( 3 right) = 120 – 1 = 119 > 0.$

Vì $fleft( { – 2} right).fleft( { – frac{3}{2}} right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( { – 2; – frac{3}{2}} right).$

Vì $fleft( { – frac{3}{2}} right).fleft( { – 1} right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( { – frac{3}{2}; – 1} right).$

Vì $fleft( { – 1} right).fleft( {frac{1}{2}} right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( { – 1;frac{1}{2}} right).$

Vì $fleft( {frac{1}{2}} right).fleft( 1 right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( {frac{1}{2};1} right).$

Vì $fleft( 1 right).fleft( 3 right) < 0$ nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng $left( {1;3} right).$

Do các khoảng $left( { – 2; – frac{3}{2}} right)$, $left( { – frac{3}{2}; – 1} right)$, $left( { – 1;frac{1}{2}} right)$, $left( {frac{1}{2};1} right)$, $left( {1;3} right)$ không giao nhau nên phương trình có ít nhất $5$ nghiệm.

Mà phương trình bậc $5$ có không quá $5$ nghiệm suy ra phương trình đã cho có đúng $5$ nghiệm.

b) Phương pháp đổi biến

Ví dụ 4

Chứng minh rằng nếu $2a + 3b + 6c = 0$ thì phương trình $a{tan ^2}x + btan x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $left( {kpi ;frac{pi }{4} + kpi } right)$, $k in Z.$

Giải

Đặt $t = tan x$, vì $x in left( {kpi ;frac{pi }{4} + kpi } right)$ nên $t in left( {0;1} right)$, phương trình đã cho trở thành: $a{t^2} + bt + c = 0$ $left( * right)$ với $t in left( {0;1} right).$
Đặt $fleft( t right) = a{t^2} + bt + c$ thì $fleft( t right)$ liên tục trên $R.$

Ta sẽ chứng minh phương trình $left( * right)$ luôn có nghiệm $t in left( {0;1} right).$

Thật vậy:

Ta có: $fleft( 0 right).fleft( {frac{2}{3}} right)$ $ = frac{c}{9}left( {4a + 6b + 9c} right)$ $ = frac{c}{9}left[ {2left( {2a + 3b + 6c} right) – 3c} right]$ $ = – frac{{{c^2}}}{3}.$

+ Nếu $c = 0$ thì $fleft( {frac{2}{3}} right) = 0$ do đó phương trình $left( * right)$ có nghiệm $t = frac{2}{3} in left( {0;1} right).$

+ Nếu $c ne 0$ thì $fleft( 0 right).fleft( {frac{2}{3}} right) < 0$ suy ra phương trình $left( * right)$ có nghiệm $t in left( {0;frac{2}{3}pi } right)$, do đó phương trình $left( * right)$ có nghiệm $t in left( {0;1} right).$

Vậy phương trình $a{tan ^2}x + btan x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $left( {kpi ;frac{pi }{4} + kpi } right)$, $k in Z.$

2.1.2. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm duy nhất

Phương pháp:

+ Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

+ CM nghiệm đó là duy nhất bằng cách: Giả sử có nghiệm x1; x2. Chứng minh x1=x2 suy ra nghiệm đó là duy nhất

Ví dụ 1

Chứng minh rằng các phương trình: ${{x}^{5}}+3x+1=0$ có đúng một nghiệm.

Giải

Xét hàm số $f(x)={{x}^{5}}+3x+1$ là hàm liên tục trên $mathbb{R}$

Mặt khác: $f(-1)=-1,f(0)=1Rightarrow f(-1).f(0)=-1<0$

Nên phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $left( -1;0 right)$.

Giả sử phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$.

Khi đó: $f({x_1}) – f({x_2}) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x_1^5 – x_2^5} right) + 3left( {{x_1} – {x_2}} right) = 0$

$ Leftrightarrow {rm{ }}left( {{x_1} – {x_2}} right)underbrace {left( {x_1^4 + x_1^3{x_2} + x_1^2x_2^2 + {x_1}x_2^3 + x_2^4 + 3} right)}_A = 0$ (1)

Do $A = {left( {x_1^2 + frac{1}{2}{x_1}{x_2}} right)^2} + {left( {frac{1}{4}{x_1}{x_2} + x_2^2} right)^2} + frac{1}{2}x_1^2x_2^2 + 3 > 0$

Nên (1)$Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}$

Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm.

2.2. Loại 2. Phương trình chứa tham số.

Dạng 1. Xác định khoảng nghiệm cụ thể.

Ví dụ 1.

Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, n

$m{{left( x-1 right)}^{3}}left( x+2 right)+2x+3=0$

Giải

Ta có hàm số $f(x)=m{{left( x-1 right)}^{3}}left( x+2 right)+2x+3$ liên tục trên R và

$f(1).f(-2)=-5<0Rightarrow $ phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc $(-2;1)$

Ví dụ 2.

Chứng minh rằng phương trình: ${m^2}.(x – 2) + m{(x – 1)^3}.{(x – 2)^4} + 3x – 4 = 0$ luôn có nghiệm với mọi m.

Giải

Ta có hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $mathbb{R}$và $f(1).f(2)<0$

Nên ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3.

Chứng minh rằng phương trình: $frac{1}{{cos x}} – frac{1}{{sin x}} = m$ có nghiệm với mọi m.

Giải

• Điều kiện : $xne kfrac{pi }{2},kin mathbb{Z}$
• Xét hàm số$f(x)=sin x-cos x-msin xcos x$,liên tục trên $left[ 0;frac{pi }{2} right]$ và

$f(0).f(frac{pi }{2})=-1<0$ do đó phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm

${{x}_{0}}in left( 0;frac{pi }{2} right)Rightarrow {{x}_{0}}ne kfrac{pi }{2}$

Do đó phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm.

Dạng 2. Sử dụng giới hạn

Ví dụ 1.

Chứng minh rằng phương trình: $(1-{{m}^{2}}){{x}^{5}}-3x-1=0$ luôn có nghiệm với mọi m.

Giải

• $m = pm 1$ phương trình có nghiệm $x = – frac{1}{3}$.(1)
• $m ne pm 1$: Ta có hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $mathbb{R}$và $underset{xto -infty }{mathop{lim }},f(x).underset{xto +infty }{mathop{lim }},f(x)$ $ = left( { – infty } right).{left( {1 – {m^2}} right)^2} < 0$ $ Rightarrow exists A < 0;B > 0$ sao cho: $f(A).f(B) < 0$. (2)

Khi đó phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (A;B).

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2.

Chứng minh rằng phương trình : ${x^5} + {x^2} – ({m^2} + 2)x – 1 = 0$ có ít nhất 3 nghiệm thức.

Giải

Đặt: $f(x) = {x^5} + {x^2} – ({m^2} + 2)x – 1$.

• Hàm số liên tục trên $mathbb {R}$.
• Có $f(0) = – 1$ và $f( – 1) = {m^2} + 1$ suy ra: $f(0).f( – 1) = – left( {{m^2} + 1} right) < 0;forall m$. suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;0).
• Ta có: $mathop {lim }limits_{x to – infty } f(x) = – infty Rightarrow exists A < – 1,f(A) < 0$ suy ra: $f( – 1).f(A) < 0;forall m$. Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc $left( { – infty ; – 1} right)$.
• Tương tự: $mathop {lim }limits_{x to + infty } f(x) = + infty Rightarrow exists B > 0,f(B) > 0;forall m$. Suy ra: $ Rightarrow exists B > 0,f(0).f(B) < 0;forall m$. Vậy phương trình có it nhất một nghiệm thuộc $left( {0; – infty } right)$.Vậy phương trình có ít nhất 3 nghiệm phân biệt (đpcm).

Ví dụ 3. 

Chứng minh rằng phương trình $left( {{m^2} – m + 3} right){x^{2n}} – 2x – 4 = 0$ với $n in {N^*}$ luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Giải

Đặt $fleft( x right) = left( {{m^2} – m + 3} right){x^{2n}} – 2x – 4.$

Ta có:

$fleft( { – 2} right)$ $ = left( {{m^2} – m + 3} right){left( { – 2} right)^{2n}} – 2left( { – 2} right) – 4$ $ = left( {{m^2} – m + 3} right){2^{2n}} > 0$, $forall m in R.$

$fleft( 0 right) = – 4 < 0$, $forall m in R.$

Từ đó có: $fleft( { – 2} right).fleft( 0 right) < 0$, $forall m in R.$

Ngoài ra hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $R$ nên hàm số liên tục trên đoạn $left[ { – 2;0} right].$

Vậy phương trình $f(x) = 0$ luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị tham số $m.$

C. BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1. Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng một nghiệm.

${{x}^{3}}+2x=4+3sqrt{3-2x}$

Bài 2. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :

a) ${{x}^{7}}+3{{x}^{5}}-1=0$

b) ${{x}^{2}}sin x+xcos x+1=0$

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau: $sqrt{{{x}^{5}}+2{{x}^{3}}+15{{x}^{2}}+14x+2}=3{{x}^{2}}+x+1$ có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Bài 4. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt

a) ${{x}^{3}}-3x+1=0$

b) $2x+6sqrt[3]{1-x}=3$

Bài 5. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, n:

$mleft( x-a right)left( x-c right)+nleft( x-b right)left( x-d right)=0$    ($ale ble cle d$).

Hướng dẫn: Xét: f(a)f(c)<0.

Bài 7. Cho $m>0$ và $a,b,c$ là ba số thực bất kỳ thoả mãn

$frac{a}{m+2}+frac{b}{m+1}+frac{c}{m}=0$. Chứng minh rằng phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm.

Hướng dẫn: $f(0).fleft( {frac{{m + 1}}{{m + 2}}} right) = frac{{ – {c^2}}}{{mleft( {m + 2} right)}} < 0$

Bài 8. Chứng minh rằng phương trình :

a) ${{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+1=0$có nghiệm thuộc khoảng $left( -1;1 right)$

b) ${{x}^{5}}-5{{x}^{3}}+4x-1=0$ có năm nghiệm thuộc khoảng $left( -2;3 right)$

Bài 9. Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: $n<m;text{ }mp<{{n}^{2}}$và $frac{a}{m}+frac{b}{n}+frac{c}{p}=0$. Chứng minh rằng phương trình : $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$  luôn có nghiệm.

Hướng dẫn: Xét $fleft( {frac{n}{m}} right).f(0) = frac{{pm – {n^2}}}{{pm}}{f^2}(0) < 0$.

D. TÀI LIỆU ĐÍNH KÈM

Chú ý:+ Nếu $fleft( a right).fleft( b right) le 0$ thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc $left[ {a;b} right].$+ Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $left[ {a; + infty } right)$ và có $fleft( a right).mathop {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right) < 0$ thì phương trình $fleft( x right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $left( {a; + infty } right).$

+ Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $left( { – infty ;a} right]$ và có $fleft( a right).mathop {lim }limits_{x to – infty } fleft( x right) < 0$ thì phương trình $fleft( x right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $left( { – infty ;a} right).$